【Edisi Pendidikan Rakyat】Matematika SMP Kelas 9 Semester 2: Dari Kesebangunan ke Homoteti: Klasifikasi dan Inti Transformasi Bangun

Pelajaran ini bertujuan untuk merangkum logika evolusi transformasi geometri dari sudut pandang makro: dari "gerak kaku" yang mempertahankan kongruensi hingga transformasi "kesebangunan" yang mempertahankan bentuk, dan akhirnya berfokus pada "homoteti." Homoteti tidak hanya mempertahankan rasio, tetapi juga menentukan esensi aljabar antara posisi dan penskalaan bangun melalui "pusat homoteti."

1. Hierarki dan Inti Transformasi

Definisi: Bangun Homoteti Jika dua bangun tidak hanya sebangun, tetapi juga setiap pasangan titik yang bersesuaian terletak pada garis yang melewati satu titik yang sama, maka kedua bangun tersebut disebut bangun homoteti, dan titik tersebut disebut pusat homoteti.

Sifat: Cara Perubahan Bangun

Bangun kongruen adalah bangun sebangun dengan rasio 1, sehingga kongruensi merupakan bentuk khusus dari kesebangunan. Translasi, simetri sumbu, dan rotasi mempertahankan kongruensi bangun; sedangkan homoteti mengubah ukuran melalui penskalaan, tetapi tetap mempertahankan bentuk.

2. Kendala Inti dari Kesebangunan ke Homoteti

Bangun sebangun hanya mengharuskan sudut-sudut bersesuaian sama besar dan sisi-sisi bersesuaian sebanding; sementara bangun homoteti menambahkan kendala kuat bahwa semua garis yang menghubungkan pasangan titik bersesuaian harus melalui satu titik yang sama.

Sifat: Sifat Bangun Homoteti
1. Bangun homoteti pasti merupakan bangun sebangun, tetapi bangun sebangun belum tentu merupakan bangun homoteti.
2. Perbandingan jarak antara titik-titik bersesuaian ke pusat homoteti sama dengan rasio kesebangunan.

3. Peningkatan Dimensi: Hukum Kuadrat Luas

Memahami bagaimana perbandingan panjang sisi (rasio kesebangunan $k$) memengaruhi sifat tingkat lanjut: perbandingan keliling mengikuti $k$, dan perbandingan luas mengikuti $k^2$. Aturan intrinsik ini sangat jelas dalam transformasi homoteti.

Contoh Soal Klasik: Penskalaan Poster

Jika sisi-sisi permukaan iklan berukuran $10 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}$ diperbesar tiga kali lipat. Meskipun keliling hanya menjadi tiga kali lipat, luas fisik yang ditutupi akan meningkat secara eksponensial sebesar $3^2 = 9$ kali lipat.

🎯 Pola Pikir Utama

Homoteti adalah jembatan antara intuisi geometri dan aljabar analitik. Melalui pusat homoteti, kita mengubah penskalaan bentuk menjadi transformasi linier koordinat.

PERTANYAAN 1

Seperti gambar, jika bangun garis putus-putus dan bangun garis penuh adalah bangun homoteti, bagaimana menentukan pusat homotetinya?

Hubungkan dua pasang titik sudut bersesuaian secara acak, titik potongnya adalah pusat homoteti

Temukan titik berat bangun

Hubungkan dua titik yang tidak bersesuaian secara acak

Pusat homoteti pasti berada di titik asal

PERTANYAAN 2

Di sistem koordinat, segitiga $\triangle AOB$ diperkecil menjadi $\triangle COD$. Jika $A(0,6), B(4,0)$, titik bersesuaian adalah $C(0,3), D(2,0)$, maka rasio kesebangunan adalah?

1:2

2:1

1:4

1:3

PERTANYAAN 3

Persegi $EFGH$ dan persegi $ABCD$ homoteti dengan pusat homoteti $P$. Jika jarak dari $P$ ke $E$ adalah $1/3$ dari jarak dari $P$ ke $A$, maka perbandingan luas mereka adalah?

1:9

1:3

1:6

3:1

PERTANYAAN 4

Li Hua ingin memperbesar sisi permukaan iklan berukuran $10 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}$ menjadi tiga kali lipat. Biaya iklan awal adalah 180 yuan (dihitung berdasarkan luas), maka biaya yang harus dibayar sekarang berapa?

1620 yuan

540 yuan

720 yuan

1800 yuan

PERTANYAAN 5

Manakah dari pernyataan berikut tentang kongruensi dan kesebangunan yang benar?

Bangun kongruen adalah bangun sebangun dengan rasio 1

Semua bangun sebangun adalah bangun homoteti

Sisi-sisi bersesuaian pada bangun homoteti tidak selalu sejajar

Transformasi rotasi termasuk dalam transformasi kesebangunan tetapi tidak termasuk dalam transformasi kongruensi